最初に結論から言うとコチラになります。
特殊車両通行許可申請の窓口は、通行する道路の管理者です。国道なら国、県道なら県、市道なら市のそれぞれの管理事務所です。
しかし例えば、市道、県道、国道のすべてを通行する場合、どこに申請すればいいか疑問だと思いますが、すべてにする必要はありません。一か所にすれば良いです。なぜなら審査の際に、国、県、市が連携して協議するからです。これを個別協議といいます。
ただし、高速道路や国道、市道でも政令市の市道でないと個別協議は行われません。ですので政令市ではない市道のみ通行する場合は、その市に直接申請することになります。鳥取県内には政令市はありませんので、鳥取市、米子市、倉吉市、境港市の道路管理事務所に直接することになるのです。
